Фізико-математичний факультет

 
Про факультет Деканат Кафедри
 
Наукова робота кафедри математичного аналізу
  1. Проблемна група «Проблеми теорії функцій дійсної та комплексної змінної»

    Керівник: доцент Герус О. Ф.

    План роботи:

    • Наближене розв’язування трансцендентних рівнянь.
    • Конструктивна теорія дійсних чисел.
    • Розв’язування диференціальних рівнянь методом степеневих рядів.
    • Похідна і диференційовність у гіперкомплексному аналізі.
    • Конформні відображення, здійснювані елементарними функціями.
    • Гіперкоплексні числові системи.
    • Функції в природі і техніці.
    • Метод послідовних наближень.
    • Деякі застосування означеного інтеграла.

  2. Проблемна група «З теорії відображень»

    Керівник: професор Севостьянов Є. О.

    План роботи:

    • Вибрані аспекти геометричної теорії функцій.
    • Степеневі ряди: концепції дослідження та застосування.
    • Відновлення функцій за її похідною.
    • Криві на площині та у просторі.
    • Метричні простори.
    • Топологічні простори.
    • Два доведення теореми Кантора-Бернштейна.
    • Зчисленні і незчисленні множини.
    • Властивості множин потужності континуум.
    • Про одностайну неперервність узагальнення квазіоізометрій на ріманових многовидах.
    • Модулі сімей кривих і їх властивості.

  3. Проблемна група «Застосування гіперкомплексних систем в теорії ймовірностей»

    Керівник: доцент Погоруй А. О.

    План роботи:

    • Багатовимірні блукання в марковських процесах.
    • Алгебраїчні властивості кокватерніонів.
    • Алгебра двовимірних гіперкомплексних систем.
    • Поліноміальні рівняння в алгебрі подвійних чисел.
    • Алгебра дуальних чисел.
    • Геометричні властивості кватерніонів.
    • Геометричні властивості кокватерніонів.
    • Отримання наближеного значення числа «е» з допомогою стохастичного експерименту.
    • Застосування гіперкомплексних систем в теорії ймовірностей.

Студентські публікації

Тема науково-дослідної роботи кафедри

Назва: Застосування гіперкомплексного аналізу для дослідження диференціальних рівнянь в частинних похідних та стохастичних диференціальних рівнянь.

Строки виконання (3 роки): з 01.01.2015 р. по 31.12.2017 р.

Реєстраційний номер: 0115U003027.

Керівник: Погоруй Анатолій Олександрович.

Загальні відомості: Бурхливий розвиток аналізу гіперкомплексних систем, який спостерігається в сучасній математиці та фізиці, пов’язаний із плідними застосуваннями цієї теорії в дослідженнях проблем математики і фізики. Найбільш розвиненим і популярним із гіперкомплексних систем є кватерніонний аналіз. Як показують результати сучасних досліджень в області аналізу на комутативних алгебрах, гіперголоморфні функції на таких алгебрах мають плідне застосування при дослідженні диференціальних рівнянь у частинних похідних (ДРЧП). Участь у даному проекті передбачає продовження досліджень у цій області. Зокрема передбачається узагальнення алгебраїчних методів розв’язування ДРЧП з постійними коефіцієнтами на рівняння зі змінними коефіцієнтами та ДРЧП, які описують випадкові блукання систем частинок на прямій із різними взаємодіями і виникають при моделюванні руху рідини чи ідеального газу. Актуальним є питання дослідження властивостей різних узагальнень похідної функції гіперкомплексної змінної. З ним близько пов’язана класифікація множин контингенцій гіперкомплексних функцій. В роботі також буде досліджуватися добре відома проблема геометричної теорії функцій комплексного змінного, так звана проблема «п’ятого діаметра». Планується написання навчального посібника.

Результати роботи:

  • Отримано розподіл випадкового блукання в ерлангівському (3-го порядку) середовищі за допомогою алгебраїчного методу дослідження диференціального рівняння телеграфного типу, а також отримано розподіл кількості перетинів рівня телеграфним процесом на прямій.
  • Розроблено новий метод побудови періодичних розв’язків нелінійних диференціальних рівнянь (звичайних і в частинних похідних ), що описують стаціонарні полігармонічні коливання при моногармонічному збуренні, при якому враховується нелінійність поліноміального типу. За допомогою цього методу знайдені стаціонарні розв’язки рівняння нелінійного осцилятора з моногармонічним збудженням та побудовані наближення стаціонарних розв’язків рівняння осцилятора з кубічною нелінійністю і моногармонічним збудженням.
  • Розв’язано ряд екстремальних задач по знаходженню максимумів функціоналів, складених із добутків внутрішніх радіусів областей, у випадках попарно-неперетинних областей, частково-неперетинних областей та відкритих множин для променевих систем, та розгляд різних постановок таких задач, зокрема для змінної кількості точок на променях.
  • Розв’язано задачі про екстремальне розбиття комплексної площини з вільними полюсами на системах точок взаємно неперетинних областей.
  • Досліджено локальні часи та локальні часи самоперетину для гауссівських процесів, отриманих дією операторів вторинного квантування на вінерівський процес на прямій та площині. Кожному такому процесу, що є функціоналом білого шуму, відповідає деякий лінійний неперервний оператор у просторі. У тому випадку, коли оператор є неперервно-оберненим перевірено існування локального часу як і у одновимірного вінерівського процесу. Більш того, показано, що локальний час неперервно залежить від оператора. На відміну від локального часу для процесів на прямій, локальний час самоперетину для процесів на площині не існує, вже для вінерівського процесу. Проте, можна побудувати перенормований локальний час самоперетину. Для вінерівського процесу на площині різні перенормування були запропоновані С. Вараданом, Є. Б. Динкіним, Дж. Розеном. Отримані результати цілком базуються на марковській властивості вінерівського процесу та властивості самоподібності. Використовуючи новий підхід, що звів вивчення функціоналів білого шуму до вивчення геометрії гільбертовозначної функції, яка породжує гауссівський процес, описано перенормування для локального часу самоперетину класу інтеграторів, породжених лінійними неперервними операторами зі скінченою розмірністю ядра.